UJAP / MATEMATICA III /Guía para 1ª parcial

UNIVERSIDAD JOSE ANTONIO PAEZ.

ESTUDIOS BASICOS / MATEMATICA III/ Prof. Daniel Labarca.

Guía de ejercicios y problemas preparatorios al 1º parcial. (deben resolverse previamente los ejercicios preliminares dados con anterioridad)

Temas a considerar: Funciones de 2 y 3 variables, ejemplos. Representación gráfica y analítica del Dominio. Características de los conjuntos. Representación geométrica de las funciones. René Descartes.

Curvas de nivel. Superficies en R³. Superficies de nivel. Dada una superficie obtener su ecuación. Aplicaciones.

 Límites y continuidad. Propiedades. Obtención del candidato a límite por diversas trayectorias. Verificar si el candidato cumple con la definición. Espacios métricos. Desigualdad triangular y de Schwarz. Aplicaciones a problemas sobre cálculo de la tolerancia. Redefinición de funciones.

Funciones vectoriales.

I) 1) Obtenga el área de un triángulo rectángulo en función de uno de los catetos(a) y del ángulo(φ) comprendido por este y la hipotenusa. Si a=4 m y φ =60º calcule A en  cm². 2)  Obtenga el área de un triángulo en función de 2 de sus lados (a,b) y del ángulo comprendido por estos. 3) Obtenga el volumen de una bombona formada por un cilindro recto de radio 12cm y altura 100cm, cerrada en su base y con una semiesfera de radio 12cm en su borde superior. Obtenga su capacidad en litros y en m³

II) En el plano XY dibuje la(s) región(es) donde existe la función indicada:

1) Ln(10-x² –y²),   2) arcSen ( x²-y²),     3)√ Ln Sen (x+y) ,              4)√(1+x-y² )/(y²-x²)

III) Para un punto móvil P en (xo,yo) del plano XY donde se encuentra definida T(x,y) obtenga y dibuje la trayectoria que debe seguir para que T se mantenga constante.                   1) T=y-x², P en (2,12).    2) T= 100+ x²- y² , P en (1,9)      

  3) T= (10x² –y²)/(2x² +y²),  P en (1,-1).

IV) Mediante sus trazas y/o curvas de nivel dibuje en R³ las superficies representadas por:  1) z=16-x²+ y²/4,      2) x² + y² – z²=9,                 3) x+y+z=10

4) z= y-x²,               5) z= √ (4x²+y²)    6) axⁿ +by^m +cz^p =d, asigne valores a (n,m,p)

entre 0,1 o 2   y   a (a,b,c,d)= 0, ±1, ± 2, ±3,…

V) Representar en R³ la superficie de nivel correspondiente a la función de 3 variables  w= x² + 4y² +16z² + 4 , si w=20.

VI) Para las superficies indicadas en clases obtener su ecuación.

VII)  Redefinir, si es posible, las siguientes funciones:

1) (3x³- 4y³)/x² +y²   2)  xy/(x² + y² )  ,  3) (2yx²- 3xy² )/√x² +y²      4)  3x⁴/√9x² +y² 

VIII) 1) En el diseño de un tanque rectangular de altura 2m con base cuadrada de lado 3m,se requiere establecer la tolerancia en sus dimensiones para que su capacidad no varíe más de 200 litros. Obténgala por teoría de límites. Compruebe con un ejemplo.

         2) La altura del techo de un recinto puede expresarse como z= 9-x²-y,

Obtenga la medida del conjunto de puntos en la vecindad de (xo,yo)=(1,3) que garantice que su altura esté acotada como 4,9 < 5<  5,1.

IX) Obtener las derivadas parciales de 1) f= arctg (y/x) ,2) f= Ln √(x +y ),

3) f= e^3x-2yCos(2x-3y).