Examen  Tipo ____

UJAP/ Ingeniería/ Matemática III/ Prof. Daniel Labarca/

1º examen parcial .   Sección ________

Nombre y CI _________________________________________________

Normas durante el examen: No está permitido levantarse de los asientos ni realizar consultas. No se permite el teléfono celular ni materiales de apoyo, excepto  la calculadora.

UD. DEBERA RESPONDER SOLO A LAS OPCIONES CON LA LETRA INDICADA.

Se indica la evaluación de la respuesta y el tiempo máximo estimado para responderla.

I) Representación gráfica de dominios y sus características .(5p)(15 minutos)

1) Dibuje en el plano XY la región o regiones que garantiza(n) la existencia de la función indicada.         A) √ Ln (x²-y²-1)         B) arcCos [ Ln(y² –x) ],

    C)   √ Ln(1-x²+y²)         D) arcSen [ Ln(x² −y)]

2) Lo mismo, para una sola vuelta completa  del argumento.   A) √[Sen(x-y)+0,5]   

B) √[Cos(x+y)− √2/2]       C) )√ [0.5− Cos(xy)]            D) √ [Cos(y-x)+√3/2]

II) Debido a la indeterminación de la función indicada en (0,0), obtener, si fuese posible, su límite cuando (x,y) se aproxima a (0,0) para poder redefinirla en ese punto.(3p) (15 minutos)

                        A)  (x³- y³)/√(x² +y²),                            B) (x²y–2xy²)/(x² + y²),                         

 C) (2yx-3xy )/√x² +y²  ,                     D) 3xy²/√x² +y² 

III) Representación geométrica de funciones y aplicaciones de los límites .(6p)25min.

i)) La altura(z) del techo de una edificación puede expresarse como

A) z=12−x −y²       B) z=16−x² −4y²        C)  z= 10 −x² −y        D z= 9−x² −3y²

1. Represente esa superficie en R³

2. Desde el punto (2,1) dibuje en XY una trayectoria que permita que la altura se mantenga constante.

3. Obtenga la medida de un conjunto de puntos en la vecindad de (2,1) que garantice que para cualquiera de sus puntos, la variación en la altura esté acotada en  ±0,15m.

IV) Aplicación de los límites.(3p) (15 minutos)

Ud obtiene un contrato para fabricar un lote de discos huecos(como los CD)con radio exterior (R) y radio interior( r) en cm. Obtenga el área del disco en función de los radios, para calcular la tolerancia en esas medidas, en [mm] , que garanticen que la variación en el área de los discos no exceda del  2% de su área.

A) R=6   r=1 ,      B) R=8  r=2   ,     C)  R=9   r=2   ,         D)  R=10  r=3 

V) Para el tanque de secciones circulares indicado de altura (h) y radio en el borde superior (r) (en metros) :A) Paraboloide con h=2 y r=2. B) Cono recto con h=3 y r=2 . C) Paraboloide con h=3  y r=2 . D) Cono recto con h=4 y r=2 .

obtenga la ecuación  de la superficie que lo representa, para calcular el nuevo radio si el nivel del líquido contenido se encuentra en la mitad de la altura del tanque. ¿Cuántos litros contiene?  ¿qué porcentaje se ocupa del volumen total? (4p) (15 minutos)

Recuerde que el volumen de un paraboloide =(π r² h)/2  y  de  un cono=  (π r² h)/3