domingo, 26 de noviembre de 2017



                                       Examen  Tipo ____

UJAP/ Ingeniería/ Matemática III/ Prof. Daniel Labarca/
1º examen parcial .   Sección ________
Nombre y CI _________________________________________________
Normas durante el examen: No está permitido levantarse de los asientos ni realizar consultas. No se permite el teléfono celular ni materiales de apoyo, excepto  la calculadora.
UD. DEBERA RESPONDER SOLO A LAS OPCIONES CON LA LETRA INDICADA.
Se indica la evaluación de la respuesta y el tiempo máximo estimado para responderla.

I) Representación gráfica de dominios y sus características .(5p)(15 minutos)
1) Dibuje en el plano XY la región o regiones que garantiza(n) la existencia de la función indicada.         A) Ln (x2-y2-1)         B) arcCos [ Ln(y2 –x) ],
    C)   Ln(1-x2+y2)         D) arcSen [ Ln(x2 y)]

2) Lo mismo, para una sola vuelta completa  del argumento.   A) [Sen(x-y)+0,5]   
B) [Cos(x+y) 2/2]       C) )[0.5 Cos(xy)]            D) [Cos(y-x)+3/2]

II) Debido a la indeterminación de la función indicada en (0,0), obtener, si fuese posible, su límite cuando (x,y) se aproxima a (0,0) para poder redefinirla en ese punto.(3p) (15 minutos)
                        A)  (x3- y3)/(x2 +y2),                            B) (x2y–2xy2)/(x2 + y2),                         
 C) (2yx-3xy )/x2 +y2  ,                     D) 3xy2/x2 +y2 

III) Representación geométrica de funciones y aplicaciones de los límites .(6p)25min.
i)) La altura(z) del techo de una edificación puede expresarse como

A) z=12x y2       B) z=16x2 4y2        C)  z= 10 x2 y        D z= 9x2 3y2

1. Represente esa superficie en R3
2. Desde el punto (2,1) dibuje en XY una trayectoria que permita que la altura se mantenga constante.
3. Obtenga la medida de un conjunto de puntos en la vecindad de (2,1) que garantice que para cualquiera de sus puntos, la variación en la altura esté acotada en  ±0,15m.

IV) Aplicación de los límites.(3p) (15 minutos)
Ud obtiene un contrato para fabricar un lote de discos huecos(como los CD)con radio exterior (R) y radio interior( r) en cm. Obtenga el área del disco en función de los radios, para calcular la tolerancia en esas medidas, en [mm] , que garanticen que la variación en el área de los discos no exceda del  2% de su área.
A) R=6   r=1 ,      B) R=8  r=2   ,     C)  R=9   r=2   ,         D)  R=10  r=3 

V) Para el tanque de secciones circulares indicado de altura (h) y radio en el borde superior (r) (en metros) :A) Paraboloide con h=2 y r=2. B) Cono recto con h=3 y r=2 . C) Paraboloide con h=3  y r=2 . D) Cono recto con h=4 y r=2 .
obtenga la ecuación  de la superficie que lo representa, para calcular el nuevo radio si el nivel del líquido contenido se encuentra en la mitad de la altura del tanque. ¿Cuántos litros contiene?  ¿qué porcentaje se ocupa del volumen total? (4p) (15 minutos)
Recuerde que el volumen de un paraboloide =(π r2 h)/2  y  de  un cono=  (π r2 h)/3

martes, 21 de noviembre de 2017

UJAP / MATEMATICA III /Guía para 1ª parcial



UNIVERSIDAD JOSE ANTONIO PAEZ.
ESTUDIOS BASICOS / MATEMATICA III/ Prof. Daniel Labarca.
Guía de ejercicios y problemas preparatorios al 1º parcial. (deben resolverse previamente los ejercicios preliminares dados con anterioridad)
Temas a considerar: Funciones de 2 y 3 variables, ejemplos. Representación gráfica y analítica del Dominio. Características de los conjuntos. Representación geométrica de las funciones. René Descartes.
Curvas de nivel. Superficies en R3. Superficies de nivel. Dada una superficie obtener su ecuación. Aplicaciones.
 Límites y continuidad. Propiedades. Obtención del candidato a límite por diversas trayectorias. Verificar si el candidato cumple con la definición. Espacios métricos. Desigualdad triangular y de Schwarz. Aplicaciones a problemas sobre cálculo de la tolerancia. Redefinición de funciones.
Funciones vectoriales.

I) 1) Obtenga el área de un triángulo rectángulo en función de uno de los catetos(a) y del ángulo(φ) comprendido por este y la hipotenusa. Si a=4 m y φ =60º calcule A en  cm2. 2)  Obtenga el área de un triángulo en función de 2 de sus lados (a,b) y del ángulo comprendido por estos. 3) Obtenga el volumen de una bombona formada por un cilindro recto de radio 12cm y altura 100cm, cerrada en su base y con una semiesfera de radio 12cm en su borde superior. Obtenga su capacidad en litros y en m3

II) En el plano XY dibuje la(s) región(es) donde existe la función indicada:
1) Ln(10-x2 –y2),   2) arcSen ( x2-y2),     3) Ln Sen (x+y) ,              4)(1+x-y2 )/(y2-x2)

III) Para un punto móvil P en (xo,yo) del plano XY donde se encuentra definida T(x,y) obtenga y dibuje la trayectoria que debe seguir para que T se mantenga constante.                   1) T=y-x2, P en (2,12).    2) T= 100+ x2- y2 , P en (1,9)      
  3) T= (10x2 –y2)/(2x2 +y2),  P en (1,-1).

IV) Mediante sus trazas y/o curvas de nivel dibuje en R3 las superficies representadas por:  1) z=16-x2+ y2/4,      2) x2 + y2 – z2=9,                 3) x+y+z=10
4) z= y-x2,               5) z= (4x2+y2)    6) axn +bym +czp =d, asigne valores a (n,m,p)
entre 0,1 o 2   y   a (a,b,c,d)= 0, ±1, ± 2, ±3,…

V) Representar en R3 la superficie de nivel correspondiente a la función de 3 variables  w= x2 + 4y2 +16z2 + 4 , si w=20.

VI) Para las superficies indicadas en clases obtener su ecuación.

VII)  Redefinir, si es posible, las siguientes funciones:
1) (3x3- 4y3)/x2 +y2   2)  xy/(x2 + y2 )  ,  3) (2yx2- 3xy2 )/x2 +y2      4)  3x4/9x2 +y2 

VIII) 1) En el diseño de un tanque rectangular de altura 2m con base cuadrada de lado 3m,se requiere establecer la tolerancia en sus dimensiones para que su capacidad no varíe más de 200 litros. Obténgala por teoría de límites. Compruebe con un ejemplo.

         2) La altura del techo de un recinto puede expresarse como z= 9-x2-y,
Obtenga la medida del conjunto de puntos en la vecindad de (xo,yo)=(1,3) que garantice que su altura esté acotada como 4,9 < 5<  5,1.

IX) Obtener las derivadas parciales de 1) f= arctg (y/x) ,2) f= Ln (x +y ),
3) f= e3x-2yCos(2x-3y). 

lunes, 10 de julio de 2017

MATEMATICA III (CALCULO AVANZADO)Problemas y ejercicios preliminares1



UJAP/ FAC. INGENIERIA /MATEMATICA III / Prof. Daniel Labarca                                                                                                                            “NADIE ENTRA SINO SABE GEOMETRIA” (Aviso en la Academia de Platón en Atenas. Siglo IV AC)
PROBLEMAS Y EJERCICIOS PREPARATORIOS .Nº1    Indispensables para el desarrollo del curso y de los exámenes.                                                                    
 GEOMETRIA  BASICA, TRIGONOMETRIA y GEOMETRICA ANALITICA   Recuerde que el volumen de un  cilindro recto es (π r2 h) y su área lateral  (2π r h),  de un paraboloide  (π r2 h)/2  , de  un cono  (π r2h/3)  y de una esfera  4π r3/3  .         REPASO DE TRIGONOMETRIA, valores y signos del Seno, Coseno y  Tangente. Identidades fundamentales.

 1) Obtener el perímetro y área de figuras planas en función de X,Y  o ϕ, según sea el caso. Ej. a) de un pentágono formado por un rectángulo de lados X y Y  y un triángulo isósceles recto sobre su  lado superior  y  b) con  un semicírculo sobre ese lado. c) de un triángulo rectángulo conocido su hipotenusa X y el ángulo ϕ que forma con el cateto base. d) de un triángulo rectángulo conocidos sus catetos X y Y y el ángulo ϕ que forma uno de ellos con la hipotenusa.

2) Superficie y capacidad de recipientes. Ej. a) de una bombona formada por un cilindro  de altura H y radio R y una semiesfera en su borde superior con igual radio R. b) capacidad de un tanque parabólico de radio 3m y altura 2m.
b) ¿Qué porcentaje de su capacidad total tiene un  tanque cónico de radio 2m y altura 3m  llenado hasta la mitad de su altura?
d) Capacidad de un tanque esférico de radio 1m llenado hasta las ¾ partes de su altura.*

3) Distancia de un punto a una recta y a un plano. Ejemplos:
a) de (-1,4) a  la recta 3y=4x.     b) de (3,2,1)  plano   z=9-2x-2y.

4) Cuál es el punto de una recta que se encuentra más próximo a otro?. Ej. de la recta   y=x    al punto  (3,4)?

5) Obtener la ecuación de una circunferencia con centro en el origen  que pasa  por  (1,1)  y (1,-1) en  coordenadas rectangulares, paramétricas y polares.

6) Obtenga la ecuación de la parábola que pasa por (2.-4) y (4,2) a) si tiene  vértice en el eje OX    y     b) si tiene vértice en el eje OY.

7) Obtenga la ecuación de la recta tangente a esas curvas en uno de esos puntos.

8) Representar en los planos coordenados XY, XZ o YZ:      a) z=12−x                      b) z=9+ y2 ,   c)  4−x2 −y2=0,     d)  x2 – y2=9 ,  e)  9−x2 –3z2=0,     f)  y2-  x2=0

9)   MATEMATICA I:   REPASO DE LOS DOMINIOS DE LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS  Y TRASCENDENTES (exponenciales, logarítmicas y trigonométricas), REPASO DE ACOTACIONES E INECUACIONES. 
Si │x-2│ ≤ 6 , cómo se acotan │x+1│ y  │x│?    y  s i x ≤ 1 entonces:  1/x2 es ≤ ó ≥1? Escribir en una sola expresión matemática las siguientes proposiciones:  a) Sen x   es menor que √3/2 pero mayor que - ½ , b) Cos x  debe ser mayor que ½ pero menor que 1. c) Tg x debe ser menor que 1 y mayor que -1. En todos los casos obtenga los valores de  x que satisfagan las desigualdades

10) Representación gráfica de dominios de  funciones                                                               a) (1-Ln x) ,   b) arcCos [ Ln (x) ],  c )   [(4- x2)/(x2-1)] ,  d)  (Sen x – ½)          e) Ln(5-x),    f) (Cos x +0,707) ,    g) (Tg x +1)

11) Para la función  y= 1+ x2  en xo =2 ,  Obtenga la medida δ de un conjunto de puntos en la vecindad de xo=2 que garantice que para cualquiera de esos puntos, la función “y” no sobrepase inferior ni superiormente a 4,85 y 5,15 , es decir que la variación de “y” esté acotada a (Δy ≤ ± 0,15),  que equivale a decir que  ε ≤ |0,15|

12) Aplicación de los límites: Ud obtiene un contrato para fabricar un lote de discos huecos (como los  CD) con radio exterior (R=9) y radio interior        ( r=2) en cm.  Obtenga el área del disco en función de los radios, para calcular la tolerancia en esas medidas, en [mm], que garanticen que la variación en el área de los discos no exceda del  2% de su área.