lunes, 10 de julio de 2017

MATEMATICA III (CALCULO AVANZADO)Problemas y ejercicios preliminares1



UJAP/ FAC. INGENIERIA /MATEMATICA III / Prof. Daniel Labarca                                                                                                                            “NADIE ENTRA SINO SABE GEOMETRIA” (Aviso en la Academia de Platón en Atenas. Siglo IV AC)
PROBLEMAS Y EJERCICIOS PREPARATORIOS .Nº1    Indispensables para el desarrollo del curso y de los exámenes.                                                                    
 GEOMETRIA  BASICA, TRIGONOMETRIA y GEOMETRICA ANALITICA   Recuerde que el volumen de un  cilindro recto es (π r2 h) y su área lateral  (2π r h),  de un paraboloide  (π r2 h)/2  , de  un cono  (π r2h/3)  y de una esfera  4π r3/3  .         REPASO DE TRIGONOMETRIA, valores y signos del Seno, Coseno y  Tangente. Identidades fundamentales.

 1) Obtener el perímetro y área de figuras planas en función de X,Y  o ϕ, según sea el caso. Ej. a) de un pentágono formado por un rectángulo de lados X y Y  y un triángulo isósceles recto sobre su  lado superior  y  b) con  un semicírculo sobre ese lado. c) de un triángulo rectángulo conocido su hipotenusa X y el ángulo ϕ que forma con el cateto base. d) de un triángulo rectángulo conocidos sus catetos X y Y y el ángulo ϕ que forma uno de ellos con la hipotenusa.

2) Superficie y capacidad de recipientes. Ej. a) de una bombona formada por un cilindro  de altura H y radio R y una semiesfera en su borde superior con igual radio R. b) capacidad de un tanque parabólico de radio 3m y altura 2m.
b) ¿Qué porcentaje de su capacidad total tiene un  tanque cónico de radio 2m y altura 3m  llenado hasta la mitad de su altura?
d) Capacidad de un tanque esférico de radio 1m llenado hasta las ¾ partes de su altura.*

3) Distancia de un punto a una recta y a un plano. Ejemplos:
a) de (-1,4) a  la recta 3y=4x.     b) de (3,2,1)  plano   z=9-2x-2y.

4) Cuál es el punto de una recta que se encuentra más próximo a otro?. Ej. de la recta   y=x    al punto  (3,4)?

5) Obtener la ecuación de una circunferencia con centro en el origen  que pasa  por  (1,1)  y (1,-1) en  coordenadas rectangulares, paramétricas y polares.

6) Obtenga la ecuación de la parábola que pasa por (2.-4) y (4,2) a) si tiene  vértice en el eje OX    y     b) si tiene vértice en el eje OY.

7) Obtenga la ecuación de la recta tangente a esas curvas en uno de esos puntos.

8) Representar en los planos coordenados XY, XZ o YZ:      a) z=12−x                      b) z=9+ y2 ,   c)  4−x2 −y2=0,     d)  x2 – y2=9 ,  e)  9−x2 –3z2=0,     f)  y2-  x2=0

9)   MATEMATICA I:   REPASO DE LOS DOMINIOS DE LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS  Y TRASCENDENTES (exponenciales, logarítmicas y trigonométricas), REPASO DE ACOTACIONES E INECUACIONES. 
Si │x-2│ ≤ 6 , cómo se acotan │x+1│ y  │x│?    y  s i x ≤ 1 entonces:  1/x2 es ≤ ó ≥1? Escribir en una sola expresión matemática las siguientes proposiciones:  a) Sen x   es menor que √3/2 pero mayor que - ½ , b) Cos x  debe ser mayor que ½ pero menor que 1. c) Tg x debe ser menor que 1 y mayor que -1. En todos los casos obtenga los valores de  x que satisfagan las desigualdades

10) Representación gráfica de dominios de  funciones                                                               a) (1-Ln x) ,   b) arcCos [ Ln (x) ],  c )   [(4- x2)/(x2-1)] ,  d)  (Sen x – ½)          e) Ln(5-x),    f) (Cos x +0,707) ,    g) (Tg x +1)

11) Para la función  y= 1+ x2  en xo =2 ,  Obtenga la medida δ de un conjunto de puntos en la vecindad de xo=2 que garantice que para cualquiera de esos puntos, la función “y” no sobrepase inferior ni superiormente a 4,85 y 5,15 , es decir que la variación de “y” esté acotada a (Δy ≤ ± 0,15),  que equivale a decir que  ε ≤ |0,15|

12) Aplicación de los límites: Ud obtiene un contrato para fabricar un lote de discos huecos (como los  CD) con radio exterior (R=9) y radio interior        ( r=2) en cm.  Obtenga el área del disco en función de los radios, para calcular la tolerancia en esas medidas, en [mm], que garanticen que la variación en el área de los discos no exceda del  2% de su área.