PROBLEMAS DE FUNCIONES VECTORIALES para 3ºP

UC/ Ingeniería/ CEAN 2011/ FUNCIONES VECTORIALES

Prof. Daniel Labarca /

GUIA DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS PREPARATORIOS AL 3º PARCIAL

Temas: Problemas de optimización (condicionados a una restricción) mediante el Método de los  Multiplicadores de Lagrange. Campos vectoriales. Operador vectorial Nabla. Gradiente, divergencia y rotacional. Operador escalar Laplaciano. Verificación de igualdades.  Integrales Curvilíneas en  R² con  funciones vectoriales y con funciones escalares. Aplicaciones físicas y geométricas. Integrales dobles. Interpretación geométrica. Cálculo de volúmenes y áreas. Transformación a  coordenadas ortogonales. Cambios de variables. Coordenadas Polares y Cilíndricas. El Jacobiano de la Transformación.

 Mediante Lagrange obtenga los puntos críticos que permitan calcular:

1) la menor distancia entre una superficie semiesférica de radio 3(con centro en el origen) sobre el plano XY y un techo  plano  correspondiente a  z= 8 - 2x -y

2) la mayor capacidad de un recinto rectangular que puede construirse dentro de una bóveda semejante a un paraboloide de 6m de altura y 10 m de diámetro en su base sobre el plano XY.

3) Para los campos F y G  en R²  verifique que  

 div(FxG)= (rot F).G – F.(rot G)

4) Para las  funciones  escalares  φ(x,y) y  g (x,y) 

 calcular  div (φ grad g)  

 5) El campo de fuerzas  F=( x+ 2y , y-2x ) actúa sobre un objeto que se mueve desde las coordenadas (2,1) hasta (-3,-9) siguiendo una trayectoria parabólica con vértice en el eje OY. Calcule el trabajo mecánico realizado y compárelo con el efectuado si la trayectoria es rectilínea a lo largo de esos puntos.

6) Sea el campo   F= (f,g)= (y , x) y  C el arco de circunferencia inferior que une a los puntos P₁ en (1,1) y P₂ en  (-1,-1)    

   evalúe   ∫_c F.dl = ∫_c f dx + g dy.  Puede comprobar su resultado?

7) Evaluar e interpretar geométricamente, dibujando la región que representa  en R³ , la integral doble  (iniciando ambas en cero)  

∫¹ ∫^√x (2+ y ) dy dx. Interprete físicamente.

8) Se requiere calcular ∫_C (x³ –y³) dx + (x³ +y³)dy

donde C es la frontera de la región limitada por una circunferencia de radio 2 y otra de radio 3 con centro en (0,0). En lugar de resolverla, aplique el Teorema de Green para transformarla en una integral doble y calcularla en coordenadas polares, comprobando que el resultado es 195π/2.

9) Verificar el Teorema de Green si F= 1/2(-y, x )  está definido en la región cerrada  

 R/ {(x,y) /  (x-2)² + y² ≥ 4  ,   x² + y²  ≤ 25 , x≥0, y≥0 } .  Interprete el resultado.

10) Calcular  ∫∫_R (x+y)e ^x-y dx dy , donde R es el cuadrado con vértices en (2,2) , (4,4), (4,0), (6,2), mediante el cambio   u=x+y  , v= x-y                      R: 12(e⁴-1)